روش ابتكاري كاشاني در محاسبه عدد «پي» و جايگاه آن در تاريخ رياضيات

كاشاني براي محاسبه پي روشي كاملاً ابتكاري كشف كرد و براي نخستين بار اين عدد را با شانزده رقم اعشار محاسبه نمود. كاري كه تا آن زمان بي سابقه بود:
براي اين منظور او تصميم گرفت محيط جهان را با چنان دقتي حساب كند كه مقدار خطاي حاصل در محاسبه، كمتر از قطر يك تار مو باشد. اما اينكه كاشاني چگونه از محيط جهان آگاهي داشت بحثي است كه به نظريات نجومي زمان او برمي گردد.
الگوي كيهان شناسي در اين زمان همان الگوي بطلميوسي بود. در اين الگوشناسي جهان مساوي 26328 برابر شعاع زمين در نظر گرفته شده بود.
كليد واژه ها: غياث الدين جمشيد، كاشاني، عدد پي، شعاع جهان، بطلميوس، ارشميدس، ابوالوفاي بوزجاني، ون كيولن.
اين مقاله به سه بخش تقسيم گرديده است. در نخستين بخش روش غياث الدين جمشيد كاشاني رياضيدان نامي عصر تيموري، كه يكي از كارهاي برجسته در تاريخ رياضيات دوره اسلامي است مورد تحليل قرار مي گيرد.
در دومين بخش، جايگاه اين روش در تاريخ جهاني عددπ مورد بحث واقع مي شود. سرانجام در سومين بخش مقايسة مختصري بين روش محاسباتي كاشاني با روش همتاي هلندي اش لودلف ون كيولن دربارة عددπ انجام مي شود.
گرچه اين رياضيدان اروپايي صد و پنجاه سال بعد از كاشاني و در كشور هلند مي زيسته است، با اين حال روش وي براي تعيين عدد π بسيار به روش كاشاني در اين باره نزديك است.
از آنجائي كه جزئيات زندگاني كاشاني بر خوانندگان آشكار است ما از اين مطلب چشم مي پوشيم.(1)
غياث الدين جمشيد كاشاني، محاسباتش را براي تعيين عدد در رساله اي تحت عنوان رساله المحيطيه كه آن را به عربي نوشته است انجام داده است.
از اين رساله هشت نسخه خطي تاكنون شناخته شده است كه نسخة خطي به شماره 5389 موجود در كتابخانة آستان قدس در مشهد مقدس يكي از نفيس ترين آنهاست. زيرا اين نسخه به وسيله خود كاشاني كتابت گرديده است. او در آخرين برگ اين نسخه چنين نوشته است:
«اين رساله اي است از غياث، بنده ناچيز خداوند متعال كه اميد به كَرَم الهي دارد.
به تاريخ نيمه ماه شعبان سال 827 ه‍ .ق. كتابت يافته است».
اين تاريخ همانگونه كه مي دانيم برابر با اواخر جولاي سال 1424 ميلادي است.
بدين ترتيب كاشاني بايستي اين رساله را هنگام اقامت خود در سمرقند در دربار الغ بيگ تدوين كرده باشد.
كار كاشاني در ايران حدود دو قرن بعد از وفات وي شناخته شد. نسخة خطي مشهد ابتدا در اختيار رياضيدان ايراني بهاءالدين عاملي(2) قرار گرفت. در سال 1925 ميلادي كار كاشاني نيز بر روي عدد π براي نخستين بار در جهان غرب توسط دي اي اسميت معرفي گرديد.
اسميت پژوهش خود را بر مبناي اطلاعاتي قرار داد كه از يك محقق ترك به نام صالح مراد، كه نسخة خطي رسالة كاشاني را در استانبول مورد مطالعه قرار داده بود، به دست آورده. مورخ آلماني پاول لوكي ترجمه اي آلماني با شرح و تفسير به همراه متن عربي (بر پاية نسخه استانبول) تهيه نمود كه به سال 1953 م پس از فوت او منتشر شد. ترجمه اي روسي هم توسط پروفسور روزنفلد سه سال بعد چاپ شد و همچنين خلاصه اي دقيق از رسالة كاشاني به زبان فارسي توسط استاد قرباني موجود است. تاكنون ترجمة كاملي از اين نسخه به زبانهاي فارسي و انگليسي مشاهده نشده است.
بنابراين بسيار مسرت بخش است بدانيم كه دكتر وحيدي اصل از تهران در حال كار به روي اين ترجمه فارسي است و اميد است كه نسخة عربي كه يك قرن پيش به صورت ليتوگراف چاپ شده بود، به زودي مجدداً چاپ شود. من همچنين اميدوارم كه امكان چاپ جديد انتقادي و منقح از متن عربي فراهم آيد البته از روي نسخة خطي مشهد. چرا كه متون رياضي دست نويس به قلم خود مؤلف بسيار كم يابند.
از آنجايي كه هنوز ترجمه اي انگليسي از كار كاشاني در دسترس نيست، غالباً سوءتفاهماتي در دنياي غرب پديد مي آيد. در سنجش جديد از تعيين عددπ، چنين عنوان شده كه كاشانيπ را با دقت 14 رقم اعشار تخمين زده است. در حالي كه به راحتي مي توان اين اظهارنظر را با توجه به نسخه خطي رساله محيطيه ـ به خط خود كاشاني ـ تكذيب نمود. كاشاني جدولي را تحت عنوان «جدول مضارب نسبت هاي محيط دايره به قطر آن» آورده (شكل2) كه در آن، π2هاي متعددي را به علائم دهدهي نمايانده شده اند. (نمادπ در زمان كاشاني هنوز مورد استفاده نبود). كاشاني در سطر پنجم مي نويسد:

(آخرين عدد سمت راست مربوط به مضربπ2مي باشد). در اينجا ما نخستين تقريب صحيح عددπ را تا 16 رقم اعشار مشاهده مي كنيم و همان طور كه ذيلاً خواهيم ديد، هر كسي قادر است با روش محاسبه كاشاني عددπ را حتي با 17 رقم اعشار هم محاسبه كند.
سيستم دهدهي اعداد براي كسرها در زمان كاشاني چندان رايج نبود. همانند ساير اخترشناسان كاشاني محاسبة خود را در سيستم شصتگاني انجام داد كه توسط رياضيدان قديم بابل، ابداع شده بود.
احتمالاً كاشاني معتقد به اين امر بود كه مقدار عدديπ به طور دقيق قابل محاسبه نيست. اين واقعيت كه عددπ نامعين است (به طور كامل) به سال 1766 م توسط رياضيدان سوئيسي لامبرت اثبات شد. از آنجايي كه عددπ هنوز به طور دقيق محاسبه نشده است، بنابراين همواره خطايي جزئي در محاسبة محيط دايره با فرمول2πR باR معلوم وجود دارد. كاشاني در رسالة محيطيه تصميم گرفت تا عددπرا با چنان دقتي محاسبه كند كه به هنگام محاسبة محيط دايره اي به شعاع برابر شعاع جهان، بيشترين مقدار خطا كمتر از قطر يك تار مو باشد. كاشاني از طرفداران نظرية اخترشناسي بطليموس اسكندراني (150 پس از ميلاد) بود (شكل3).
بطليموس بر اين باور بود كه زمين در مركز جهان قرار دارد و توسط افلاك (دواير) هم مركز ماه، تير، زهره، خورشيد، مريخ، مشتري، كيوان و ستارگان ثابت احاطه شده است. مسافت زمين تا ماه و خورشيد توسط اختلاف رؤيت قمري و مقادير آشكار ساية ماه، خورشيد و زمين طي يك ماه گرفتگي قابل تعيين بود. اين روش ها اصولاً درست ولي چندان دقيق نيستند. بدين صورت كه يك خطاي نسبتاً كوچك در اندازه گيري ساية زمين، مسافت بين زمين و ماه را با دقتي تنها 20/1 مقدار واقعي نشان مي داد.
بسياري از فلاسفة يوناني پذيرفته بودند كه فضاي خالي (خلأ) وجود ندارد و بنابراين چنين نتيجه گرفتند كه بيشترين مسافت بين زمين تا خورشيد معادل با كمترين مسافت بين زمين تا مريخ است. مدل بطليموسي حركت سيارات، اصولاً قادر بود كه با تقريب خوبي نسبت بين بيشترين فواصل زمين تا هر سياره اي را نشان دهد. (البته نه خود مقدار مسافت ها را) اگرچه با فرض كمترين مسافت مريخ و نسبت بين كمترين و بيشترين آن، بطليموس قادر به يافتن بيشترين فاصلة مريخ (كه او فرض كرده بود معادل با كمترين فاصله تا مشتري است و الي آخر) شد. دست آخر اين كه بيشترين مسافت كيوان مفروض بود كه معادل با كمترين مسافت ستارگان ثابت باشد. بطليموس بر اين باور بود كه همة ستارگان ثابت به فلكي ضميمه شده اند كه چندان ضخيم نيستند و اين «فلك ثوابت» با توجه به بيروني ترين فلك نازك، حركت بسيار كُندي داشت. اين فلك بيروني حاوي دايره البروج بود و مدت حركت وضعي آن حول مركز جهان، يك روز بود. با تكيه بر اين شبه برهان، بطليموس نتيجه گرفت كه شعاع جهان بايد برابر مقدار تخميني 20000 برابر شعاع زمين باشد.
بر پايه رصدهاي بعدي، اخترشناسان قرون وسطاي اسلامي تعدادي از عوامل مدل بطليموسي را تغيير دادند ولي شعاع جهان را با همان مقداري كه از نظريه بطليموسي تعيين مي شد، نگاهداشتند.
كاشاني در [كتاب] خود تحت عنوان سلم السماء (پلكاني به سوي آسمان) فرض كرد كه شعاع جهان معادل با 26328 برابر شعاع زمين است. البته مدل زمين مركزي بطليموسي و جانشينان اسلامي آن براي اخترشناسي امروزي، به نظر ابتدايي مي رسند. هر چند همين مدل ها، سال ها اخترشناسان را قادر ساختند كه پديده هاي سماوي را با دقتي كافي براي چشم غيرمسلح پيش بيني كنند.
كاشاني مي خواست كه در محاسبة مقدارπ در موضع اطمينان باشد. بنابراين چنين مقرر كرد كه در محاسبة دايره اي به قطري برابر 600000= R برابر قطر زمين، خطاي محاسبة2πR چيزي كمتر از قطر يك تار مو باشد.
كاشاني در محاسبهπ روشي را به كار برد كه در ابتدا توسط ارشميدس معرفي شده بود. دايره اي با 6 ضلعي هاي منتظم محاطي و محيطي در نظر گرفت.
بنابراين محيط دايره بزرگتر از محيط شش ضلعي محاطي و كوچكتر از محيط شش ضلعي محيطي خواهد بود. اگر شعاع دايره 1 باشد، طول هر ضلع 6 ضلعي محاطي 1 خواهد بود و بنابراين محيط آن 6 و محيط دايره 2 و مي توان نشان داد كه محيط شش ضلعي محيطي برابر √34خواهد بود. بنابراين او نتيجه گرفت كه:

ارشميدس همچنين نشان داد كه اگر كسي طول ضلع يك n ضلعي منتظم محيطي و محاطي را محاسبه كند، قادر خواهد بود كه طول ضلع يك 2n ضلعي منتظم محيطي و محاطي را نيز محاسبه نمايد. اين چنين او طول اضلاع محيطي و محاطي 48، 24، 12 و 96 ضلعي منتظم را محاسبه نمود و دست آخر با استفاده از 96 ضلعي هاي منتظم مقدار πرا چنين تخمين زد:

بيان جبري چند ضلعي ها درگير اعداد ناصحيح است. ارشميدس از اعداد غيرصحيح با تخمين نسبتاً پيچيده اي همچون (مثل رياضيات امروزي) اجتناب كرد. او از سيستم اعداد ده تايي يا 60 تايي هم براي نسبت ها استفاده نكرد.
كاشاني به تقريب ارشميدس توجه كرد و اضافه نمود كه نتيجة ارشميدس براي منظور او بسيار بي دقت مي باشد. پس از 96 ضلعي ، كاشاني 24 چند ضلعي با اضلاع بيشتر از 96 ضلعي را هم در نظر گرفت مثل 192 ضلعي، 384 ضلعي و الي آخر تا ضلعي. او با مثلثي به شعاع 60 واحد، درست همان طور كه در علم مثلثات زمان او معمول بود، كار نمود. پيش از آغاز كار اصلي، كاشاني امور زير را نشان داد:
• محيط ضلعي هاي منتظم محيطي و محاطي در يك دايره با شعاع 60، كمتر از تفاوت دارند.
• محيط ضلعي هاي منتظم محيطي و محاطي در يك دايره شعاع 600000 برابر شعاع زمين، اختلافي كمتر از قطر يك تار مو دارند.
• چنانچه اين چند ضلعي ها براي تخمينπ استفاده شوند، نتيجه محاسبه 19 رقم در سيستم شصتگاني به دست مي دهد (يك عدد صحيح و 18 كسر).
كاشاني در محاسبه اش، روش ارشميدس را به طور محسوسي ساده نمود. ايدة اصلي او با در نظر گرفتن نمادهاي امروزي رياضي به طريق زير است: در دايره اي با شعاع 60، طول اضلاع nضلعي هاي منتظم براي محيطی هاي:

كاشاني نشان داد كه ساده تر است، در ابتدا براي محاسبه كنيم:

به دليل آنكه اين مقادير با رابطة زير به هم مربوط اند:

كه با روابط امروزي هم ارزند با فرمول:

بدين ترتيب كاشاني در دستگاه روابط امروزي، چنين محاسبه كرد

كاشاني سري را با دستخط خودش مطابق شكل5 معرفي نمود.
شكل6 محاسبة توسط كاشاني را (با دستخط خودش) نشان مي دهد.

به معناي: [در سيستم دهدهي]
با انجام 27 نوع محاسبات ديگر با اين الگو او را يافت و پس از آن محيط ضلعي محاطي را چنين تعيين نمود:

سپس او محيط چند ضلعي محيطي را به روش ساده اي استخراج كرد. در اين روش او حد اضافي و حد نقصاني دايره اي به شعاع 60 را مي يابد كه با مقادير زير براي π مطابقت مي كنند:
15، 50، 14، 46، 51، 34،1، 28، 59، 16؛ 6> π2
45،49، 14،51، 34،1، 28، 59، 16؛ 6<π2
...+ 602/59+ 60/16+ 6= ...59، 16؛6
در ابتدا كاشاني عدد 46 را به عنوان آخرين حد پايين شصتگاني پيدا كرد ولي او مكان شصتگاني بعدي كاشاني براي عددπ2 مقدار ميانگين
50، 14، 46، 51، 34، 1، 28، 59، 16؛ 6 را انتخاب كرد و سپس اين مقدار را به سيستم نسبت هاي دهدهي تبديل كرد. همان طور كه ما ديديم او تنها 16 رقم اعشار را به دست آورد ولي طبق محاسبات لوكي بيش از اين مي توان عمل كرد: اگر كسي 2 رقم بيشتر استفاده كند، حدود اضافي و نقصاني π2طبق محاسبات كاشاني معادل خواهند بود با:
141592653589793254/3>π > 14159265358973230
كه مقدار ميانگين گرد شدة عددπ را با 17 رقم اعشار به طور صحيح به دست مي دهد.
14159265358979324/3=π
كاشاني جدولي از مضاربπ2 را ارائه داد و در مورد خطاي تقريب عدد πتوسط رياضيدانان متقدم همچون بوزجاني و بيروني بحث نمود. آن طور كه از مطالعة جداول مثلثاتي اين رياضيدان برمي آيد، آنان با تقريب نسبتاً كم دقتي عددπ را يافته بودند. با اين مطالعة تطبيقي، رسالة محيطيه كاشاني پايان مي يابد.
(جدول2 در پايين را ببينيد).
به منظور تعيين كار كاشاني در شرايط تاريخ جهاني رياضيات، من فهرستي از ركودهاي جهاني در تقريب اعشار عددπ تنظيم كرده ام (جدول1).

تاريخ	مولف	مكان	تقريب	تعداد اعشار
1ـ روش هايي ابتدايي
2000 پيش از ميلاد		مصر		1
12000 پيش از ميلاد		بابل		1
2ـ چند ضلعي هاي محيطي و محاطي
250 پيش از ميلاد		ارشميدس	ایتالیا	2
150 پس از ميلاد		بطليموس	مصر(3600/30+ 60/8+3=)" 38 ' 30	3
450 ؟	؟	هند	1415927/3>π 200000/62832=π 2	4
480	زو چنگ زي	چين	2π با 9 رقم اعشار شصت گانی	7
1424	كاشاني	ايران	با 9 رقم اعشار شصت گني	17-16
1596	ون كيولن	هلند		20
1615	وزن كيولن	هلند		35
1630	گريمبرگر	رم		38
1722	تا كه به	ژاپن		41
3ـ سري تيلور (arctan x )
1699	اي. شارپ	انگلستان		71
1706	ماشين	انگلستان		100
1719	فاتت دلاتغي	فرانسه		113
1794	وگا	اتريش		136
1795	ناشناس	انگلستان		152
1844	زاخارياس داهسه	آلمان		200
1847	كلايوسن	آلمان		248
1853	راثر فورد	انگلستان		240
1853	دابليو. شانكس	انگلستان	(تا 527 عدد درست)	607
1873	دابليو. شانكس	انگلستان	(تا 527 عدد درست)	707
4ـ كامپيوترهاي اتوماتيك
1949	اي نياك	ايالات متحده آمريكا		2035
1973	گايلويلد، بوير	پاريس		106
1919	برادران چادنوسكي	نيويورك		109
1999	كانادا	ژاپن		1011×2

البته دارندگان اين ركودهاي جهاني نبايستي از كارهاي اسلافشان مطلع بوده باشند. كاشاني از كار زوچنگ زي مطلع نبود همانطور كه زوچنگ زي از نتايج بطليموس و اين ديگري از ارشميدس و ون كيولن از كار كاشاني مطلع نبودند.
تاريخ تعدد عدد π را مي توان به چهار دوره تقسيم نمود. در دورة نخست رياضيدانان بابلي و مصري، عدد π را با روش هاي شهودي و حسي تخمين زدند.(3)
در دورة دوم رياضيدانان براي تعيين عددπ از چند ضلعي هاي محيطي و محاطي استفاده كردند [ادوار بعدي مشتمل بر دورة استفاده از سري تيلور و دست آخر به كارگيري ماشينهاي حساب و كامپيوتر مي باشند].
تقريبπ با چند ضلعي هاي منتظم.

جدول2 يك فهرست از رياضيداناني است (البته نه همه ركودداران جهاني) كه عدد π را با روش مذكور تقريب زده اند. در 1593 م رياضيدان ديگر هلندي به نام آدريان ون رومن عددπ را با 15 رقم اعشار توسط يك =251658240 ضلعي محاط به دست آورد، ولي قادر به شكستن ركورد كاشاني نشد. البته ون رومن از كار كاشاني آگاه نبود. ما تنها از نتيجة محاسبه آگاهيم ولي نمي توانيم با صراحت بگوييم از چه نوع چند ضلعي استفاده شده است. خطاي تقريب توسط چند ضلعي با استفاده از سري تيلور قابل ترميم است و اگر عدد π با ميانگين چند ضلعي هاي منتظم محاطي و محيطي تقريب زده شود، خطا متناسب با خواهد بود. چنانچه تخمين عدد π براي حصول k رقم اعشار با اين روش انجام پذيرد، مي توان نشان داد كه محاسبات حداقل بايد تا اعشار انجام شوند. لودلف ون كيولن آخرين ركورددار جهاني بود كه از اين روش ساده استفاده كرد. براي استخراج 35 رقم اعشار πاو بايد يك چند ضلعي منتظم با ضلع را استفاده كرده باشد و محاسباتش بايد بيش از 70 رقم اعشار عمل كرده باشد (محاسبات او مفقود شده اند). ما مي دانيم كه ون كيولن محاسبات را با كمك يك دانش آموز انجام داد. تقريب 35 رقم اعشار براي عدد πدشوارتر از آن بوده است كه محاسبه اش توسط يك فرد انجام پذيرفته باشد. پيشرفت بيشتر زماني حاصل شد كه كشف شد چند ضلعي هاي محاطي و محيطي در راهي مؤثر قابل استفاده هستند. براي مثال اگر عددπ را نه با ميانگين و بلكه با 3/1 محيط چند ضلعي محيطي به علاوة 3/2 چند ضلعي محاطي، تخمين بزنيم، خطاي نسبي است. در سال 1621 م، رياضيدان آلماني ويليبرد اسنل روش بسيار پيشرفته اي به منظور تخمين با همين مشخصه يافت. روش مشابهي هم توسط رياضيدان اتريشي، گريمبر و همچنين رياضيدان ژاپني به نام تاكه به ـ كه که از كارهاي اسلاف يوناني، مسلمان و اروپايي آگاه نبود ـ استفاده شد. دورة سوم تقريبπ با كشف سري تيلور و استفاده از آن براي arc tan x آغاز مي شود. با استفاده از اين سري، عدد π با روش سريعتري قابل تخمين بود. رياضيدان انگليسي شارپ، از سري زير استفاده كرد:
دورة سوم تقريبπ با كشف سري تيلور و استفاده از آن براي arc tan x آغاز مي شود. با استفاده از اين سري، عدد π با روش سريعتري قابل تخمين بود. رياضيدان انگليسي شارپ، از سري زير استفاده كرد:

به زودي ماشين، رابطة مؤثرترين را جايگزين كرد:

توسط اين سري ها و روابط مشابه، اروپائيان قادر شدند عدد π را با 500 رقم اعشار صحيح محاسبه كنند. پيشرفت بيشتر به توسط ماشين حساب ها و كامپيوترها پس از جنگ دوم جهاني حاصل شد. روشهاي سريعتري نيز طي سالهاي اخير پيدا شده اند. تا اين زمان بيش از 200 ميليون اعشار عددπ شناخته شده است. اين محاسبات جنبة عملي كمتري دارند، اما نظرية اصولي جالب است و تعدادي از رياضيدانان علاقمند به جستجوي خواص عددπ در ارتباط با تقسيم ثابت اعشار آن مي باشد.
من در بخش سوم از اين مقاله تمايل دارم كه به طور خلاصه رسالة محيطية كاشاني را با كار لود ولف ون كيولن كه عددπ را با 20 رقم اعشار تعيين كرد، مقايسه كنم آن هم به دليل مشابهت بين اين دو كار، ون كيولن كار خود را به زبان هلندي نوشت و آن را «Van den Cirker» نام نهاد به معناي «دربارة دايره». كار او به سال 1956 م در دلفت هلند به چاپ رسيد. صفحة نخست كتاب (شكل8) مشتمل بود بر پرتره اي از ون كيولن و يك دايره به قطري معادل 1 با 20 صفر. داخل محيط دايره چنين تعيين شده بود كه عدد 23846 89793 26535 314159 كوچكتر از محيط دايره و عدد 23847 89793 26535 314159 بزرگتر از محيط دايره است. متن زير دايره راجع به مسأله اي در رياضيات بازرگاني بود كه در حال حاضر مورد نظر ما نيست.
با تبديل عدد ون كيولن به سيستم شصتگاني، ما عدد محاسبة كاشاني را به دست مي آوريم. مضارب 60 موجب يك انتقال در سيستم شصتگاني مي شود. بدين ترتيب در خط 28، عدد زير از محاسبات ون كيولن:
1999999999999999984781302708290021737702 مطابق است با عدد زير در سيستم شصتگاني:
...5959595959595950475212304837495440 كه كاشاني در پايان بيست و هشتمين رقم محاسبه استخراج كرده است.
از آنجايي كه ون كيولن، 3 مرحله بيشتر از كاشاني حركت كرد (تا يك ضلعي) و باز چون او از 39 اعشار استفاده كرد، عدد π را با 18 اعشار به دست آورد. در آخرين مرحله محاسبة ، ون كيولن از يك 64242509440 = ضلعي استفاده كرد كه π را با 20 رقم اعشار به دست مي داد.
تقريب عدد π توسط ون كيولن در ايران، يك قرن پس از مرگ او شناخته شده بود. رياضيدان ايراني محمدباقر يزدي به سال 1100 ه‍ .ق. و 1700 م در عبارتي كه مورد اشارة استاد قرباني هم است مي گويد كه: «تعدادي از رياضيدانان اروپايي نشان دادند كه اگر قطر دايره را برابر با 1 به همراه 11 صفر در نظر بگيريم، آنگاه محيط آن عبارت است از 481 265 59 3141. من البته در تعيين هويت مؤلف اين تقريب موفق نبوده ام». سپس محمدباقر يزدي ادامه مي دهد كه: «شخصي ديگر با محاسباتي دقيق تر به اين نتيجه رسيده است كه اگر قطر را برابر 1 با 20 صفر در نظر بگيريم، محيط دايره بين:
323847 979 358 265 159 314 و 486... خواهد بود. اين «كسي ديگر» احتمالاً همان ون كيولن است، چرا كه تقريب π در صفحة اول كتاب او به همين صورت بيان شده است. استاد قرباني اين انتقال را از اروپا به جهان اسلام همچون رخدادي به نشانة پايان دورة رياضيات قرون وسطايي اسلام قلمداد مي كند.
اين واقعيت كه كار ون كيولن شبيه به كار كاشاني بود، مستلزم اين معنا نيست كه ون كيولن از كار كاشاني مطلع بوده است. ون كيولن در دوره اي مي زيست كه علاقة فراوانتري نسبت به عدد π در اروپا وجود داشت. تعدادي از محققين ناآگاه اروپايي ادعا كرده بودند كه مقدار دقيق 4/1 دايره را يافته اند و بنابراين مقدار دقيق π را محاسبه كرده اند. ون كيولن و دو همكارانش زمان زيادي را صرف رد اين اظهارات نمودند و اين چنين بود كه آنها اعشار بيشتر و بيشتري ازπ يافتند. هر چند كاشاني در چنين موقعيت خوبي قرار نداشت؛ آنطور كه ما مي دانيم، هيچ يك از همكاران او در مورد اين موضوع كار نمي كردند. در سنت رياضيات اسلامي قبل از كاشاني، توجه كمي صرف يافتن تقريب عدد π شده بود. تنها تلاش براي يافتن عدد به دليل محاسبة تانژانت نيم يا يك چهارم يك زاويه، صورت پذيرفته بود. ولي در مجموع كاشاني در تعيين عدد و ارائه يك رياضيات محاسباتي يك پيشرو بود.
كار ون كيولن طولاني تر از كار كاشاني است چرا كه او علاقمند به محدودة بزرگتري براي موضوع بود. برخلاف كاشاني، ون كيولن با محاسبة اضلاع چند ضلعي هاي منتظم به طور كلي به توسط حل معادلات جبري عمل نمود. كاشاني در اين باره در رسالة محيطيه بحثي نكرده است. هر چند به طور مشخص به اين مطلب علاقمند بوده است. چرا كه در كتاب ديگر خود به نام رساله في الوتر والجيب او روش محاسبة اضلاع يك 360 ضلعي را طي حل عددي يك معادلة مكعب بيان مي كند.
برخلاف كاشاني، ون كيولن تمام محاسباتش را در دستگاه دهدهي انجام داد و دايره اي به شعاع 1 را انتخاب نمود. ون كيولن همچنين علائم جبري را مورد استفاده قرار داد كه طي رنسانس در اروپا پيشرفت نموده بودند. شكل9 همچنين فهرستي از تعداد اضلاع n ضلعي هاي منتظم محاطي را در دايره اي به شعاع واحد كه توسط ون كيولن به كار مي رفت نمايش مي دهد. چند ضلعي هاي مشابه همچنين توسط كاشاني مورد استفاده قرار گرفت. با دو برابر كردن آخرين عدد ون كيولن يعني 402653184 ، تعداد اضلاع آخرين چند ضلعي كاشاني را به دست مي آوريم:
محاسبات ون كيولن نشان مي دهد كه از چهارمين تا بيست و هشتمين قدم با محاسبات كاشاني مشابه هستند.
كاشاني به ترتيب روبرو محاسباتش را انجام داد:

و در مورد ون كيولن به قرار زير بود:

كه مقدار عبارت بود از:

كه البته

تخمين عددπ با 35 رقم اعشار هرگز طی زمان زندگی ون کیولن انتشار نیافت ولی به هنگام مرگش به سال1615 م بر مقبره اش در کلیسای لیدن در هلند حکاکی شد. در قرن نوزده میلادی این سنگ قبر طی یک سری عملیات ساختمانی در محوطة کلیسا ناپدید شد. خوشبختانه سنگ نبشته های مقبره در یک کتاب راهنمای مسافرتی انگلیسی مربوط به قرن18 م محفوظ بود (شکل11 را ببینید) و به سال2000 م ـ سال جهانی ریاضیات ـ انجمن ریاضی هلند سنگ قبر را مجدداً بنا کرد و در 6 جولای 2000 طی مراسمی با حضور پادشاه هلند پس از سخنرانی تاریخی پرفسور هنک باس از اترخت در کلیسا نصب شد.
محاسبة محیط ضلعی محاطی منتظم برحسب مقدار ارتفاع وارد بر ضلع محاطی و شعاع مربوطه:
برای اینکه ببینیم چگونه کاشانی موفق به محاسبة محیط ضلعی های منتظم محاطی و محیطی درون و برون دایره ای به شعاع R شد به محاسبات زیر توجه می کنیم:
فرض می کنیم:
طول چند ضلعی منتظم محاطی = a
طول چند ضلعی منتظم محیطی = b
شعاع دایره ای به مرکز o برابر باشد با R
ارتفاع وارد بر ضلع محاطی و محیطی برابر باشد با h

این مقدار اخیر یعنی مقداری است که کاشانی را قادر ساخت تا محیط چند ضلعی های منتظم محاطی و محیطی را تا ضلعی محاسبه کند. دلیل این امر در تساوی مثلثاتی زیر نهفته بود:

چرا که با توجه به رابطة1 مقدار را براساس C_n محاسبه و نتیجه را در رابطة2 قرار دادیم و به رابطه ای بین C_n و C_2n رسیدیم. حالا چنانچه از یک سه ضلعی که کوچکترین چند ضلعی هاست. شروع کنیم می توان شش ضلعی را هم محاسبه و همین طور محاسبات را ادامه دهیم تا به یک ضلعی برسیم. از این به بعد محاسبة محیط ضلعی محاطی ساده است چرا که داریم:

= محیط ضلعی منتظم محاطی در دایره ای به شعاع60 به روش مشابهی کاشانی محیط ضلعی محیطی را هم یافته پس از گرفتن میانگین، عدد π را با 16 رقم اعشار محاسبه می کند.
سری تیلور مبحثی در***ریاضیات سریهای توانی است که قضیة مربوط به آن به شرح زیر است:
تابعی در فاصلة و بی نهایت بار مشتق پذیر، قابل تبدیل به سری توانی زیر است (سری تیلور):

به شرط آنکه:

که در آن:

و باقیمانده فرمول تیلور: (Rn(x
به ازایx_0 سری تیلور حالت خاصی دارد که موسوم به سری مک لورن می باشد یعنی:

نظر به سری مک لورن، توابع پایة مثلثاتی از قبیل sinx, cosx, ... قابل تبدیل به بسطهای مختلفی هستند و بر همین اساس بسط مک لورن تابع x tg-1 عبارت خواهد بود از:

که شارپ از رابطه اخیر برای تقریب عدد π استفاده کرده بود؛ بدین ترتیب که با جایگذاری عدد π به جای متغیر x به مقدار زیر دست یافت:

سیر تاریخی روش شناسی تقریب عدد π
به نظر می رسد می توان تقریب عدد π را به لحاظ روش شناسی در چهار بازه زمانی متفاوت به شرح جدول زیر تقسیم بندی نمود:
ادوار گوناگون تقریب عدد لحاظ روش شناسی:
نام دوره روش بازة زمانی حد نهایی اعشار حاصل
1. ریاضیات باستان شهودی 2000 پ.م ـ 205 پ.م 1
2. دورة اول علمی افناء 250 پ.م ـ 1722 م 41
3. دورة دوم علمی سری تیلور 1699 م ـ 1948 م 808
4. دورة علمی فنی کامپیوتری 1949 م ـ زمان حاضر 1011×2
می بینیم که ادوار تاریخی تقریب عدد π قدمتی چهار هزار ساله دارد و از دوران پیشا علمی (به معنای امروزی آن) تا عصر کامپیوترها دربر می گیرد. آنچه دورة اول ریاضیات باستانی را از سایر ادوار متمایز می کند عدم وجود الگو و روش، و تکیه بر استنباط شهودی و جداول پایه می باشد. طی دوران علمی، روش ها شکل می گیرند. دوران اول علمی دورة علوم هندسه و مثلثات است که ریشه در علوم باستانی دارند ولی دورة دوم علمی که مقارن با عصر روشنگری و آغاز دورة مدرنیسم در اروپا است، زمان ریاضیات بی نهایت کوچک هاست که میوه هایی چون سری تیلور و مک لورن را عرضه می دارند و بالاخره دورة چهارم عصری است که از تکروی علوم نشانی به جا نمانده است. بدین معنا که ائتلافی از علم و فن در محاسبات شکل گرفته است و ظرف نیم قرن به رقم عظیم 1011×2 اعشار از عدد π رسیده ایم به طوری که محاسبات اخیر بسیار نهایی و کافی و یا حتی کمی هم بیشتر از کافی به نظر می رسند ولی فراموش نکنیم که بشر همواره با تکیه بر انگیزه ها و مقایسه ادوار گذشته چنین برداشتی راجع به خود داشته است. علوم آینده نیازها و انگیزه های جدیدتری می آفرینند و هیچ جای تعجبی ندارد اگر روزگاری دور، دوران پنجمی هم حاصل شود؛ هر چند که این امر، فعلاً خیلی بعید به نظر برسد.
بسم الله الرحمن الرحیم
ستایش خداوندی را سزد که از نسبت قطر به محیط آگاه است. و اندازة هر مرکب و بسیط را می شناسد و آفرینندة زمین و آسمان ها و قرار دهندة نور در تاریکی است. و درود و سلام بر محمد مصطفی که مرکز دایرة رسالت و محیط اقطار رهنمایی و دادگری است و بر خاندان و یاران پاک او باد.
اما بعد نیازمندترین بندگان خدای تعالی به آمرزش وی جمشید پسر مسعود پسر محمد حذف طبیب کاشانی ملقب به غیاث که خداوند احوال او را نیکو گرداند می گوید: «ارشمیدس ثابت کرده است که محیط (دایره) از سه برابر قطرش به اندازة کمتر از 7/1 و بیشتر از 71/10 قطر، بزرگتر است. پس تفاوت بین این دو مقدار 497/1 (قطر) است. پس دایره ای که قطرش 497 ذراع یا قصب یا فرسنگ باشد مقدار محیطش در حدود پنج فرسنگ مجهول است زیرا قطر آن برحسب فرسنگ تقریباً پنج برابر مقدار مذکور می باشد و در فلک البروج (در محیط...) در حدود بسیار بیش از صدهزار فرسنگ مجهول است، و این مقادیر که در محیط ها (این اندازه) زیاد هستند در مساحت (ها) چه خواهند بود؟ این به علت آن است که وی (= ارشمیدس) محیط 96 ضلعی محاط در دایره را استخراج کرده است و آن از محیط دایره کوچکتر می باشد زیرا هر ضلع آن از قوس روبروی آن کوچکتر است و مجموع اضلاع آن از محیط دایره کوچکتر می باشد و (ارشمیدس) محیط چند ضلعی دیگری را که مشابه با اولی و محیط بر (همان) دایره است استخراج کرده و به مدد قضیه اول نخستین مقالة کتاب خود به ثبوت رسانیده است که آن از محیط دایره مذکور بزرگتر است و تفاوت بین آنها (= در محیط) همان است که گفته شد.

پی نوشت ها :
 

*دپارتمان رياضيات دانشگاه اُتريخت هلند
**كارشناس ارشد فلسفه علم از دانشگاه صنعتي شريف
1- برای آگاهی از زندگانی کاشانی رجوع شود به محمدباقری، از سمرقند به کاشان، تهران1375
2- سال های953 تا بعد از هجرت/1547 تا 1622بعداز میلاد: رجوع کنید به:
ابوالقاسم قربانی، کاشانی نامه، تهران: انتشارات دانشگاه تهران، 1350هجری شمسی (1971م) ص60.
3- این ریاضیدان چیزی معادل با این را می دانستند که محیطی و مساحت دایره ای با شعاع Rبرابر است با مقادیر که در آنها ثابت هستند ولی حتی نمی دانستند که مقادیر و برابرند. این امر نخستین بار توسط ارشمیدس اثبات شد وی همچنین مساحت مسطح سطح [دایره] و حجم کره را بر حسب بیان کرد.
 

منبع: نشریه پایگاه نور شماره 28